partiels/partiel_Mathsdis_S2_25 Mars 2009.tex

   1 \documentclass[12pt]{article}
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  20 \title{%\includegraphics{LogoIUT.ps}\\
  21 Partiel de mathématiques discrètes, semestre 1, mars 2009.\\
  22 Durée : 2 heures.}
  23 \date{}
  24 \geometry{hmargin=1.5cm, vmargin= 1.5cm}
  25 \author{J.-F. \sc{Couchot}}
  26 \begin{document}
  27 \maketitle
  28
  29
  30 \section*{Exercices (10 pts)}
  31
  32 \subsection*{Exercice 1 (3pts)}
  33 On considère l'ensemble $E=\{1,2,3\}$ et $P(E)$ l'ensemble des parties de $E$.
  34 \begin{enumerate}
  35 \item Donner $P(E)$ et montrer que l'intersection
  36 de deux éléments quelconques de $P(E)$ contient au plus deux éléments.
  37 \item Donner un exemple d'injection $\mathcal{I}:a \rightarrow b$, où $a$ et $b$ sont deux éléments quelconques de $P(E)$
  38 \item Donner un exemple de deux applications $\mathcal{F}:a \rightarrow b$ et
  39  $\mathcal{G}: b \rightarrow c$ telles ques les trois conditions
  40  suivantes soient vérifiées:
  41 \begin{itemize}
  42 \item $a$, $b$ et $c$ sont trois éléments de $P(E)$;
  43 \item $\mathcal{G} o \mathcal{F}$ est une injection;
  44 \item $\mathcal{G}$ n'est pas une injection.
  45 \end{itemize}
  46 \end{enumerate}
  47
  48
  49 \subsection*{Exercice 2 (4pts)}
  50 Soit $A$, $B$ et $C$ trois ensembles inclus dans $E$.
  51 Démontrer chacune des propositions suivantes:
  52 \begin{enumerate}
  53 \item $A \cap B = A \cap C \Leftrightarrow A \cap (E \setminus B) = A \cap (E \setminus C)$
  54 \item $\left\{ \begin{array}{l}
  55       A \cup B = A \cap C \\
  56       B \cup C = B \cap A \\
  57       C \cup A = C \cap B  \end{array} \right \} \Rightarrow A = B = C$
  58 \item $(A \setminus C) \setminus (B \setminus C) = A \setminus (B \cup C)$
  59 \end{enumerate}
  60
  61 \subsection*{Exercice 3 (3pts)}
  62 Soit $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ telle que $f: x \mapsto x+1$ et
  63 $g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ telle que $g: x \mapsto
  64 \left\{
  65   \begin{array}{ll}
  66   0 & \textrm{si } x = 0 \\
  67   x-1 & \textrm{si } x \ge 1
  68 \end{array}
  69 \right.
  70 $.
  71
  72 Etudier l'injectivité, la surjectivité, la bijectivité éventuelles de
  73 $f$ puis de $g$.
  74
  75
  76 \section{QCM (10 pts)}
  77
  78 Vous aurez +1 à chaque valeur de vérité trouvée, -1 à chaque erreur (et 0 en absence de réponse). Les notes seront ajustées à l'intervalle $[0;20]$ (les notes négatives auront 0).
  79
  80 Q. 1. On parle de relation fonctionnelle quand tout élément de l’ensemble de départ possède au plus une image.
  81 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
  82
  83 Q. 2. La réunion entre deux ensembles est l'ensemble des éléments appartenant aux deux ensembles.
  84 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
  85
  86 Q. 3. Une application injective est une application telle que tout élément de l'ensemble d'arrivée possède exactement un antécédent. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
  87
  88 Q. 4. Soit $A =\{\{a,b\},\{c\},\{d,e,f\}\}$. $P(A)$ contient 3 éléments.
  89 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
  90
  91 Q. 5. Soit $A =\{\{a,b\},\{c\},\{d,e,f\}\}$. $\{d,e,f\} \in A$L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
  92
  93 Q. 6. Le complémentaire de $A$ dans $E$ est l'ensemble des éléments de $A$ qui ne sont pas dans $E$. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
  94
  95 Q. 7. La réunion de deux ensembles $A$ et $B$ est l'ensemble des éléments appartenant à $A$ ou à $B$.
  96 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
  97
  98 Q. 8. Une application est une relation binaire.
  99 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 100
 101 Q. 9. $\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2, |y| = x^3 \}$ est une relation fonctionnelle. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 102
 103 Q. 10. La réunion entre deux ensembles est l'ensemble des éléments appartenant à au moins l'un des deux ensembles.
 104 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 105
 106 Q. 11. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire. Il est possible d'avoir $x \mathcal{R} y$ sans avoir $y \mathcal{R} x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 107
 108 Q. 12. Une application injective est une application telle que tout élément de l'ensemble d'arrivée possède au plus un antécédent. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 109
 110 Q. 13. $\mathcal{R} = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2, y-x+2 = 0 \}$ est une relation binaire.
 111 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 112
 113
 114 Q. 14. L'intersection de deux ensembles est l'ensemble des éléments appartenant à au moins un des deux ensembles.
 115 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 116
 117 Q. 15. $\sin : \mathbb{R} \longrightarrow [-1,1]$ est surjective. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 118
 119 Q. 16. Le cardinal d'un ensemble fini est son nombre d'éléments. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 120
 121 Q. 17. On a défini une relation binaire $\mathcal{R}$ entre deux ensembles $E$ et $F$ lorsqu’on s'est donné une partie de $E \times F$.
 122 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 123
 124 Q. 18. $\mathcal{R} = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2, xy = 1 \}$ est une relation fonctionnelle.
 125 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 126
 127 Q. 19. Soit $A =\{\{a,b\},\{c\},\{d,e,f\}\}$. $P(A)$ contient 64 éléments. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 128
 129 Q. 20. Il existe des relations fonctionnelles qui ne sont pas des relations binaires.
 130 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 131
 132 Q. 21. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire. Le graphe de $\mathcal{R}$ est symétrique par rapport à la diagonale. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 133
 134 Q. 22. L'intersection entre deux ensembles est l'ensemble des éléments appartenant aux deux ensembles.
 135 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 136
 137 Q. 23. Le complémentaire des entiers pairs dans $\mathds{N}$ est égal à l'ensemble des entiers impairs. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 138
 139
 140 Q. 24. Le complémentaire de l'ensemble des entiers positifs ou nuls dans $\mathds{N}$ est égal à l'ensemble des entiers strictement négatifs. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 141
 142 Q. 25. Soit $A =\{\{a,b\},\{c\},\{d,e,f\}\}$. $a \in A$.
 143 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 144
 145 Q. 26. Les applications bijectives sont les applications injectives et surjectives.
 146 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 147
 148 Q. 27. Soit $A =\{\{a,b\},\{c\},\{d,e,f\}\}$. $\emptyset \subset A$.
 149 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 150
 151 Q. 28. $\sin : \mathbb{R} \longrightarrow [-1,1]$ est injective.
 152 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 153
 154 Q. 29. Une relation fonctionnelle est une application.
 155 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 156
 157 Q. 30. Si $f:E \longrightarrow F$ est bijective, alors tout élément de $F$ possède exactement un antécédant dans $E$. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 158
 159 Q. 31. Une application bijective est surjective.
 160 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 161
 162
 163 Q. 32. Une application de $E$ dans $F$ est telle que $\forall x \in E$, il existe un unique élément $y \in F$ en relation avec $x$.
 164 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 165
 166
 167 Q. 33. Soit $A =\{\{a,b\},\{c\},\{d,e,f\}\}$. $ \{c \} \subset A$.
 168 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 169
 170 Q. 34. Une application est une relation binaire particulière.
 171 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 172
 173 Q. 35. Soit $A =\{\{a,b\},\{c\},\{d,e,f\}\}$. $\{\{a,b\}\} \subset A$.
 174 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 175
 176 Q. 36. Il existe un unique ensemble vide. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 177
 178 Q. 37. Le complémentaire de $A$ dans $E$ est l'ensembles des éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$.
 179 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 180
 181 Q. 38. Soit $A =\{\{a,b\},\{c\},\{d,e,f\}\}$. $\{\{a,b\}\} \subset A$. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 182
 183
 184 Q. 39. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire. Le graphe de $\mathcal{R}$ est symétrique par rapport à la diagonale.
 185 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 186
 187
 188 Q. 40. Une application de $E$ dans $F$ est telle que $\forall x \in E$, il existe un unique élément $y \in F$ en relation avec $x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 189
 190 Q. 41. $\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2, |y| = x^3 \}$ est une application. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 191
 192 Q. 42. Une application injective est une application telle que tout élément de l'ensemble de départ possède au plus une image.
 193 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 194
 195 Q. 43. Soit $A =\{\{a,b\},\{c\},\{d,e,f\}\}$. $P(A)$ contient 4 éléments.
 196 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 197
 198 Q. 44. L'intersection de deux ensembles $A$ et $B$ est l'ensemble des éléments appartenant à $A$ ou à $B$. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 199
 200
 201 Q. 45. Soit $A =\{\{a,b\},\{c\},\{d,e,f\}\}$. $P(A)$ contient 8 éléments. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 202
 203 Q. 46. $\sin : \mathbb{R} \longrightarrow [-1,1]$ est injective. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 204
 205 Q. 47. $\sin : [0,\pi] \longrightarrow [-1,1]$ est surjective. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 206
 207 Q. 48. $A \cup B$ est la réunion de $A$ et de $B$. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 208
 209 Q. 49. $\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2, |y| = x^3 \}$ est une relation fonctionnelle.
 210 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 211
 212
 213
 214
 215
 216
 217
 218
 219
 220
 221
 222
 223 \newpage
 224
 225 \section*{Réponses au QCM}
 226
 227 \noindent Nom: ..........................
 228
 229 \noindent Prénom: ..........................
 230
 231
 232 \begin{large}
 233 \begin{center}
 234 \begin{tabular}{|l|c|c||l|c|c||l|c|c|}
 235 \hline
 236 Numéro & V & F & Numéro & V & F & Numéro & V & F \\
 237 \hline
 238 Q. 1 & &  & Q. 2 & &  & Q. 3 & &  \\
 239 \hline
 240 Q. 4 & &  & Q. 5 & &  & Q. 6 & &  \\
 241 \hline
 242 Q. 7 & &  & Q. 8 & &  & Q. 9 & &  \\
 243 \hline
 244 Q. 10 & &  & Q. 11 & &  & Q. 12 & &  \\
 245 \hline
 246 Q. 13 & &  & Q. 14 & &  & Q. 15 & &  \\
 247 \hline
 248 Q. 16 & &  & Q. 17 & &  & Q. 18 & &  \\
 249 \hline
 250 Q. 19 & &  & Q. 20 & &  & Q. 21 & &  \\
 251 \hline
 252 Q. 22 & &  & Q. 23 & &  & Q. 24 & &  \\
 253 \hline
 254 Q. 25 & &  & Q. 26 & &  & Q. 27 & &  \\
 255 \hline
 256 Q. 28 & &  & Q. 29 & &  & Q. 30 & &  \\
 257 \hline
 258 Q. 31 & &  & Q. 32 & &  & Q. 33 & &  \\
 259 \hline
 260 Q. 34 & &  & Q. 35 & &  & Q. 36 & &  \\
 261 \hline
 262 Q. 37 & &  & Q. 38 & &  & Q. 39 & &  \\
 263 \hline
 264 Q. 40 & &  & Q. 41 & &  & Q. 42 & &  \\
 265 \hline
 266 Q. 43 & &  & Q. 44 & &  & Q. 45 & &  \\
 267 \hline
 268 Q. 46 & &  & Q. 47 & &  & Q. 48 & &  \\
 269 \hline
 270 Q. 49 & &  &  & &  &  & &  \\
 271 \hline
 272 \end{tabular}
 273 \end{center}
 274 \end{large}
 275
 276 \end{document}